[이론] 최단 경로

최단 경로

: 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘 = 길 찾기 문제

ex) 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우, 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단경로를 모두 구해야하는 경우 등

- 코딩테스트) 

 : 최단 경로를 모두 출력하는 문제 보다는 단순히 최단 거리 출력

- 최단 거리 알고리즘

  1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

  2. 플로이드 워셜 

  3. 벨만 포드 알고리즘 

- 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다

 

 

*다익스트라 최단 경로 알고리즘

: 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘, 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단경로 구하는 경우

- '음의 간선' 이 없을 때 정상적으로 동작한다 => 음의 간선: 0보다 작은 값을 가지는 간선을 읨, 현실세계의 간선은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되기도 함

- 그리디 알고리즘 -> 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문

- 최단 경로를 구하는 과정에서 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신하는 특징이 있음 

- 노드와 간선의 개수가 모두 많으면 우선순위 큐를 이용하는 다익스트라 이용

- 원리

  1. 출발 노드를 설정

  2. 최단 거리 테이블을 초기화

  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택

  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신

  5. 위의 과정에서 3번과 4번 반복

- 구현 방법(★숙달되어 있어야함)

 

 방법1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

 - O(V^2) 의 시간복잡도, O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야함

 - 코테의 최단 경로 문제에서 전체노드의 개수가 5000개 이하라면 이 코드 가능 but , 10000개를 넘어가는 문제라면 이 코드로는 해결이 어렵다.

 - 다익스트라에 의해서 처음 고안 (V는 노드의 개수)

 - 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트 선언

 - 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를(순차 탐색)한다.

//input
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

//output
0
2
3
1
2
4

#간단한 다익스트라 알고리즘
#
import sys
sys.stdin = open("input.txt","r")
#INPUT()을 더 빠르게 동작하기 위해
input = sys.stdin.readline
INF= int(1e9) #무한 , 10억

n,m=map(int,input().split())
#시작 노드 번호
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[]for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크
visited=[False] *(n+1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로
distance=[INF]*(n+1)

#모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int,input().split())#a에서 b까지 가는 비용이 c
    graph[a].append((b,c))

#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index =0 #최단 거리가 가장 짧은 노드
    for i in range(1,n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index=i
    return index

def dijkstra(start):
    #시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start]=0
    visited[start]=True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]]=j[1]
    #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해서 반복
    for i in range(n-1):
        #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문처리
        now=get_smallest_node()
        visited[now]=True
        #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now]+j[1] #j[1]은 cost
            #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]]=cost


#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기위한 최단 거리를 출력
for i in range(1,n+1):
    #도달 할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i]==INF:
        print("infinity")
    else: #도달 할 수 있는 경우, 거리를 출력
        print(distance[i])

 

 방법2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 "빠르게 동작하는 코드 

 - O(ElogV) (V는 노드의 개수, E는 간선의 개수) : 최대 E개의 가선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 뺴는 것으로 볼 수 있으므로 O(ElogE) ->E는 V^2보다 항상 작다. => O(logE) < O(logV^2)=O(2logV)=O(logV) 

 - 힙 자료구조를 사용, 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 빠르게 찾을 수 있다 => 로그 시간이 걸린다

 - get_smallest_node() 라는 함수를 작성할 필요가 없다 -> 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있으므로 

#개선된 다익스트라 알고리즘 소스코드
import heapq
import sys
sys.stdin = open("input.txt","r")
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)
n,m = map(int,input().split())
start = int(input())
graph = [[] for i in range(n+1)]
distance = [INF] * (n+1)

for _ in range(m):
    a,b,c = map(int,input().split())
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q = []
    #시작 노드로 가기위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q,(0,start))
    distance[start]=0
    while q: #큐가 비어지지 않다면
        #최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist,now = heapq.heappop(q)
        print(dist,now)
        #현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist :
            continue
        #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost=dist + i[1]
            #현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost <distance[i[0]]:
                distance[i[0]]=cost
                heapq.heappush(q,(cost,i[0]))

dijkstra(start)

for i in range(1,n+1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

 

 

 

 *힙

- 우선순위 큐 : 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제 

- (가치, 물건)으로 데이터가 구성된다면, '가치' 값이 우선순위 값이다. 

- 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용한다.

- 최소힙을 이용하면 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제되며, 최대 힙을 이용하는 경우 값이 큰 데이터가 먼저 삭제된다

- 힙의 삽입시간 O(logN) , 삭제시간 O(logN)

 

 

*플로이드 워셜 알고리즘

: 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우

- 노드의 개수가 N이라고 할 떄, N번 만큼의 단계를 반복하며 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 =>

  다이나믹 프로그래밍

- 단계마다 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘 수행, but, 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 도드 값을 찾을 필요가 없다

- 노드의 개수가 적은 경우

- 노드의 개수가 N개 일 때, 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행하며 단계마다 O(N^2) 의 연산을 통해 현재 노드를 거져가는 모든 경로를 고려한다 => O(N^3)

- 다익스트라 알고리즘 에서는 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트 이용하지만 플로이드 워셜 알고리즘은 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장 한다 -> 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 함 

- Dab는 a에서 b로 가는 최단거리, 무한 은 10억 int(1e9)

#플로이드 워셜 알고리즘
#
import sys
sys.stdin = open("input.txt","r")
INF=int(1e9)#10억

#노드의 개수 및 간선의 개수
n=int(input())
m=int(input())

#2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph=[[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

#자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1,n+1):
    for b in range(1,n+1):
        if a==b:
            graph[a][b]=0

#각 간선에 대한 정보를 입력받아 , 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    #a에서 b로가는 비용이 c
    a,b,c= map(int,input().split())
    graph[a][b]=c

#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1,n+1):
    for a in range(1,n+1):
        for b in range(1,n+1):
            graph[a][b]=min(graph[a][b],graph[a][k]+graph[k][b])

#수행된 결과를 출력
for a in range(1,n+1):
    for b in range(1,n+1):
        #도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY",end=' ')
        else:
            print(graph[a][b],end=' ')
    print()